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푸리에 해석 (2-1) : 푸리에 급수의 정의

수학

by 릿카。 2023. 4. 8. 20:08

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1. 정의

 계수는 리만적분으로 정의되어 있으므로, 함수 f가 리만적분일 때 푸리에급수가 존재합니다. 한편, 리만적분가능 함수는 불연속인 점의 집합의 크기가 Lebesgue measure 0 이므로, 푸리에 해석학은 ‘regular’한 함수에 집중하겠다는 의지가 돋보입니다. 물리학의 관점에서 보면 자연계의 함수 대부분은 연속함수이므로, 리만적분가능 조건은 자연스레 만족하고 별 무리없이 푸리에 급수전개를 사용할 수 있습니다. 

 (Ex) 함수의 종류들 

  1. 모든곳에서 연속, f(0) = f(L)
  2. 부분연속(pointwise continuous) : 유한개 불연속점
  3. 리만적분가능 : 변동을 control 가능한 x partition이 존재 (불연속점 무한개 가능 but measure 0)

 여기서, 리만적분가능의 조건을 작반법으로 서술하면,

 한편, 주기함수 f는 원위의 함수로 대응시킬 수 있습니다 :

 본격적으로 푸리에 급수와 그 계수를 정의해봅시다 :

 이제, 급수 수렴 연구를 위해 본격적으로 푸리에 부분합을 정의합니다 :

 이 포스팅에선 S_N이 symmetric이라 가정할 것이고, 급수는 이 대칭의 극한으로 취급합니다. 만일 S_N이 비대칭일 경우 급수는 발산할 수 있습니다. 이쯤에서 제기되는 근본적인 물음이 있습니다 :

 이 질문은 앞으로 계속 답을 찾아나가야 하며, 쉽지 않은 문제입니다.

 우선 디리클레 커널을 정의합니다 :

 이렇게 정의하고 나면,

 한편, 푸아송 커널이라는 것도 있는데, r^n을 곱해서 :

 이때, 다음이 성립합니다 :

 f의 measure 0 불연속점에 대해서 리만적분은 자유도를 지니므로(해당 불연속점들의 함수값이 바뀌어도 적분값은 바뀌지 않음), 적분으로 계수가 정의되는 푸리에 급수도 자유도를 지니며, 이로 인해

 곧 all theta에 대해 수렴하는 것이 어렵게됩니다.

- All theta : f가 미분가능

- Pointwise : f가 적분가능 except measure 0

 원래 푸리에 시절에는 함수가 적어도 부드러우면 푸리에 급수는 당연히 수렴할 것이라는 직관이 지배적이었는데, 당시 듀보이스라는 미국의 수학자가 “연속함수인데 한 점에서 발산하는 급수가 있다”라고 발표하면서 수학자들은 푸리에 급수의 수렴에 대해 더욱 엄밀하게 접근하게 되었습니다.

 하여튼, f가 리만적분가능할 때에 부분합과 함수 사이에는 제곱평균수렴의 관계가 성립합니다 :

 

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