리만이 생각한 적분가능성(Riemann integrability)이란?

"The Calculus Gallery - Dunham" 서적을 참고함

 

 이 포스팅에선 현대의 정의보다는 19세기 당시 리만의 사고과정을 따라가면서 그의 생각을 읽어보려고 한다. 1854년 리만은 Habilitationsschrift에서 다음과 같은 질문을 던졌다 : "∫f(x)dx over [a,b]는 어떻게 이해해야 하는가?"

 코시 이전에 수학자들에게 적분은 단지 미분의 역연산(inverse operation)이라는 생각이 지배적이었고, 그래서 적분에 대해 엄밀하게 생각해보려는 동기도 별로 없었다. 그러나 코시가 적분을 합의 극한의 일종으로 정의한 이후부터 적분은 미분과 독립적인 개념이라는 아이디어가 태어나기 시작했다. 다만 코시는 적분가능하려면 함수가 연속이어야 한다고 가정했는데, 이는 여전히 미분과 연결지어서 적분을 생각하는 흔적이라 할 수 있다. 과도기적 시기인 셈.

 그러나 리만의 등장 이후 적분은 미분과는 독립적인 길을 걷게되는데, 리만은 불연속인 함수이더라도 적분이 존재할 수 있도록 적분을 재정의했기 때문이다. 그의 아이디어의 핵심은 "구간내에서 함수의 변동(oscillation)을 충분히 억제(control)할 수 있으면 적분가능하다"인데, 이제부터 보다 formal하게 알아보자.

1. 리만합(Riemann sum)

리만은 연구 진행을 위해 함수 f : bounded over [a.b]를 가정했다. 리만은 우선 구간 [a,b]에 있는 수열 a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_(n-1) < x_n=b를 생각했다. 이 부분구간(subdivision)은 현재 partition이라는 용어가 되었다.

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2. 리만 적분(Riemann integral)

이제, 리만의 적분 정의를 소개한다 : 

즉, 각 구간의 길이를 좁혀나갈 때 사각형넓이의 합 S가 A라는 극한값을 가진다면, A = ∫f(x)dx over [a,b]인 것이다.

 

다음으로 리만은, 적분가능성(integrability) 즉 주어진 함수가 적분을 가지기 위한 필요충분조건을 연구했다. 

우선 아래 그림을 참고해서 D_k를 정의하자 :

 

 참고로 현대의 리만 적분가능 정의는 D_k의 sup, inf를 이용하는데(실수구간이니까 completness에 의해 sup, inf가 존재한다), 리만이 적분을 연구할 당시에는 sup와 inf라는 개념이 존재하지 않았다.

 아무튼, 이어서 변동(oscillation)을 포착한 D_k를 가지고 또 다른 사각형들의 넓의를 정의하는데 : 

 이때 리만은 "∫f(x)dx over [a,b] exists" <=> "Lim(d->0) Δ(d) = 0" 라고 결론지었다. 위의 그림에서 보면, d->0일 때 사각형 영역들의 넓이->0 을 의미한다.

 이제, 변동을 control한다는 개념을 정식화하기 위해 σ>0을 고려한다. 

 

  for σ>0, f(x)의 변동이 σ보다 큰 구간은 [x1, x2], [x4, x5]이다.

이제, 핵심이다 : 

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