푸리에 해석 : Parseval's 항등식 파이썬 코드

이게 파세발 항등식입니다. 원래 domain과 frequency domain에서의 제곱 norm의 총합이 유지된다는 것인데, 일종의 에너지 보존이라 해석하기도 합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define the sawtooth function
def sawtooth_wave(x):
    return (x % (2 * np.pi)) - np.pi

# Calculate the Fourier coefficients for the sawtooth function
def fourier_coefficients(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return 2*((-1)**n)/n - 2/n

    
# Calculate the truncated Fourier series
def truncated_parseval(n_terms):
    return 0.25 + sum([(fourier_coefficients(n))**2 for n in range(1, n_terms + 1)])

# Calculate the mean square error
def error(func, truncated_func, n_terms, num_samples):
    x = np.linspace(-1 * np.pi, 1 * np.pi, num_samples)
    delta_x = 2*np.pi/num_samples
    integral = delta_x * sum([func(xi)**2 for xi in x]).real
    error = integral - truncated_func(n_terms)
    return error

# Plot the mean square error for different numbers of terms
def plot_error(func, n_terms, num_samples):
    mse_values = []

    for n in range(1, n_terms + 1):
        mse = error(func, truncated_parseval, n, num_samples)
        mse_values.append(mse)

    plt.plot(range(1, n_terms + 1), mse_values)
    plt.xlabel('Number of terms')
    plt.ylabel('error')
    plt.title('Mean Square Convergence of Fourier Series for Sawtooth Function')
    plt.legend()
    plt.show()

n_terms = 100
num_samples = 100
plot_error(sawtooth_wave, n_terms, num_samples)

Parseval's identity

그래프가 이쁘게 나왔습니다 ^^