푸리에 해석 (2-5) : 체사로, 아벨 합 - 푸리에 급수의 응용

5. 체사로, 아벨 합 : 푸리에 급수의 응용

 지금 우리는 푸리에 급수가 연속인 점에서도 수렴하지 않을 수 있다는 것을 보았습니다. 디리클레 커널의 절댓값 적분이 로그항에 비례하기 때문이죠. 그래서 수학자들은 다른방향으로 나아갔습니다 :

를 다른 방식으로 해석하기 시작한거죠.

(5-1) 체사로 합

 1 - 1 + 1 - 1 + … = ?

 이 급수의 수렴값은 없습니다. 부분합은 {1, 0, 1, 0, …}으로 진동하죠. 그런데 부분합의 수렴값을 1/2라고 정의하면 어떻게 될까요? 이게 체사로 합입니다. 이 개념을 정의하고 나면, 꽤나 쓸만한 정리들을 얻게됩니다. 그래서, 우선 정의를 살펴봅시다 :

 

 에르네스토 체사로(1859-1906)는 해석학과 정수론으로 유명한 이탈리아 수학자였습니다. 그는 수렴 또는 조건부 수렴 시리즈에 값을 할당하는 방법인 Cesàro summation의 개발로 가장 유명합니다. 이 테크닉은 푸리에 분석과 다른 수학 분야의 연구에 도움이 되는 것으로 입증되었습니다.

 Cesàro 합을 정의하게 된 Cesàro의 동기는, 전통적인 수렴 기준의 한계로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 19세기에, 수학자들은 표준적인 의미에서 수렴하지는 않지만, 약간의 규칙성이나 패턴을 가지고 있는 것처럼 보이는 급수를 다루기 위한 다양한 기술을 탐구하고 있었습니다. Cesàro의 합 방법은 이러한 유형의 급수를 다루기 위한 보다 일반적인 접근 방식을 제공하려는 시도였습니다.

푸리에 분석에 대한 Cesàro 합의 주요 기여 중 일부는 다음과 같다:

 1. 수렴의 일반화: 푸리에 급수는 점별로 또는 균일하게 수렴하지 않을 수 있지만, 여전히 체사로 가합의 의미에서 수렴할 수 있습니다. 이 일반화는 표준 수렴 기준이 실패하더라도 푸리에 급수의 수렴 특성에 대한 연구를 가능하게 했습니다.

 2. Fejér의 정리: 1900년에, 헝가리 수학자 Lipót Fejér는 함수가 연속적이고 주기적이라면, 그 푸리에 시리즈는 Cesàro 가합의 의미에서 모든 지점에서 함수로 수렴한다는 것을 증명했습니다. 이 결과는 Fejér의 정리로 알려져 있으며, 푸리에 분석에서 Cesàro 요약의 중요성을 확립하는 데 도움이 되었습니다.

 3. 수렴 가속: Cesàro 합은 푸리에 급수의 수렴가속 테크닉으로 사용될 수 있습니다. 푸리에 급수의 부분 합에 Cesàro 합을 적용함으로써, 수렴률을 개선하여 목표 함수의 더 정확한 근사치를 가능하게 할 수 있습니다.

 4. 수렴 조사: Cesàro 합은 이중 푸리에 시리즈와 다중 푸리에 시리즈와 같은 보다 일반적인 시리즈의 수렴 특성을 연구하기 위한 프레임워크를 제공합니다. 이것은 푸리에 분석에서 수렴 행동에 대한 이해의 더 많은 발전으로 이어졌습니다.

 결론적으로, Cesàro 합은 19세기와 20세기에 푸리에 분석의 발전과 이해에 중요한 역할을 했습니다. 급수의 수렴에 대한 보다 일반적인 접근 방식을 제공함으로써, 체사로 합은 수학자들이 전통적인 수렴 기준이 실패한 경우에도 푸리에 시리즈의 수렴 특성을 연구할 수 있게 해 주었고, 이 분야에서 더 많은 발전을 위한 길을 닦았습니다.

 

 실제로 앞서 디리클레 커널은 나쁜커널이었는데, 그것들을 체사로 합을 한 페저커널은 좋은커널이 됩니다:

 

 리만 적분가능한 함수는 페저커널과 컨볼루션할 때, 연속점에서 f에 체사로 가합입니다 :

 페저커널은 리만적분가능한 함수가 연속인 점에서 점별수렴하게 해주고, 만약 연속함수인 경우 균등수렴하게 해줍니다.

(5-2) 아벨 평균과 아벨 합

 아벨 합은, 특정 변환에서 급수의 부분합의 극한을 고려하여, 다양한 급수에 극한값을 할당하는 데 사용되는 테크닉입니다. 아벨 합의 이면에 있는 아이디어는, 급수의 행동을 제어하는 데 사용할 수 있는 정규화 매개 변수(r)를 도입한 다음, 매개 변수가 특정 값(r=1)에 접근함에 따라 극한을 취하는 것입니다.

 아벨합 방법에 대한 동기는, 멱급수와 복소해석학에 대한 그의 작업에서 비롯되었을 가능성이 높습니다. 아벨은 특히 수렴 특성과 관련하여 멱급수의 행동을 이해하는 데 관심이 있었습니다. 이러한 문제를 해결하는 동안, 그는 적절한 변형을 적용하고 극한을 취함으로써 일부 발산하는 급수가 여전히 의미 있는 값을 부여받을 수 있다는 것을 깨달았을 것입니다.