Uniform convergence는 왜 정의됐을까

Q. Weierstrass는 어떻게 그의 균등수렴(uniform convergence) 아이디어를 생각해냈나요? 무엇이 그가 그것을 연구하도록 동기를 부여했나요? 그가 고려한 반례(counterexamples)와 함께 설명하세요

 

A. Karl Weierstrass는 이전까지 무한급수(infinite series)와 함수에 대한 분석에 엄밀함(rigor)이 결여되어있었다고 느꼈고, 이 엄격성의 결여를 해결하기 위해 균등수렴을 연구하도록 동기를 부여받았다. Weierstrass의 작업 이전에, 수학자들은 종종 수열과 일련의 함수들을 다룰 때, (코시가 극한에 대한 대수적 정의를 도입하면서 많이 나아졌지만, 여전히 관습으로 남아있던) 직관적인 추론을 사용했는데, 이는 잘못된 결론과 불일치로 이어졌다. Weierstrass는 정확한 정의와 기준을 도입함으로써 무한급수 및 함수의 해석학에 더 엄밀함 가져오려고 노력했다.

 

 균등수렴에 대한 아이디어는 함수 시퀀스(sequence)의 점별 수렴(pointwise convergence)에 대한 바이어스트라스의 조사에서 나왔다. 점별 수렴은 일련의 함수가 도메인의 각 지점에서 극한 함수로 수렴한다고 명시한다. 그러나, 이 수렴 개념은 적분, 미분 또는 함수 시퀀스와 관련된 기타 연산의 수렴을 보장하지 않기 때문에 몇 가지 한계가 있다. Weierstrass는 이러한 연산들의 수렴을 보장하기 위해 더 강력한 형태의 수렴이 필요하다는 것을 깨달았다.

 

 균등수렴은 이러한 한계를 다루는 더 강력한 수렴 개념이다. 함수 시퀀스는 주어진 수준의 정밀도에 대해 극한 함수와 시퀀스의 함수의 차이가 도메인의 모든 점에 대해 지정된 정밀도보다 작은 지점이 존재하는 경우, 극한 함수로 균일하게 수렴합니다.

 

 Weierstrass는 점별 수렴의 부적절함을 입증하기 위해 반례를 고려했다. 그러한 예 중 하나는 간격 [0, 1]에서 함수 f_n(x) = x^n의 시퀀스이다. 시퀀스는 다음과 같이 정의된 함수 f(x)에 점적으로 수렴한다:

 

F(x) = 0 ≤ x < 1

F(x) = 1 for x = 1

 

 시퀀스는 점적으로 수렴하지만, 균일하게 수렴하지는 않는다. 함수 f_n(x) = x^n의 도함수는 n이 증가함에 따라 무제한이 되며, 이는 극한 함수 f(x)가 x = 1에서 미분할 수 없다는 것을 의미합니다. 이 반례는 점별 수렴이 미분의 수렴을 보장할 만큼 충분히 강하지 않다는 것을 보여준다.

 

  균등수렴에 대한 Weierstrass의 작업은 시퀀스와 일련의 기능을 이해하기 위한 엄격한 프레임워크를 제공함으로써 현대 분석의 발전에 크게 기여했다. 그의 균등수렴 개념은 수학자들이 적분, 도함수 및 기타 연산의 수렴을 더 체계적이고 정확한 방식으로 연구할 수 있게 해주었고, 궁극적으로 그 주제에 대한 더 깊은 이해로 이어졌다.