푸리에 해석 (1) : 디리클레, 리만 그리고 리만적분가능성

 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)는 조화해석학 분야에 상당한 기여를 한 저명한 독일 수학자였습니다. 그의 작품은 푸리에가 마련한 기초를 확장하고 공고히 했으며, 푸리에 급수의 수렴에 대한 더 깊은 이해를 제공하고 그 분야의 미래를 형성할 새로운 아이디어를 소개했습니다. 여기서, 우리는 조화해석학에 대한 Dirichlet의 주요 기여 중 두 가지에 초점을 맞출 것입니다.

(1) 수렴을 위한 디리클레의 조건:

 푸리에 시리즈에 대한 푸리에의 초기 연구는 수렴의 문제, 즉 함수의 푸리에 급수 원래 함수로 수렴하는 조건의 문제를 열어두었습니다. Dirichlet는 현재 Dirichlet의 조건으로 알려진 일련의 기준을 수립함으로써 이 문제를 해결했는데, 여기서 함수의 푸리에 급수는 함수 자체에 점별로(pointwise) 수렴합니다. 이 조건들은:

 A) 함수 f(x)는 기간 T와 함께 주기적이어야 합니다.

 B) f(x)는 한 주기동안 절대적으로 적분가능해야 합니다. 즉, ∫|f(x)|dx over [0, T]가 존재하며 유한(finite)합니다.

 C) f(x)는 한 주기 내에 유한한 수의 불연속성(discontinuities)을 가져야 하며, 각 불연속성은 점프 유형(유한 점프)이어야 합니다.

 D) f(x)는 단일 기간 내에 유한한 수의 최대값과 최소값을 가져야 합니다.

 

 함수가 디리클레의 조건을 만족한다면, 푸리에 급수는 함수가 연속적인 모든 지점에서 함수에 점적으로 수렴합니다. 불연속 지점에서, 푸리에 급수의 좌극한과 우극한의 평균으로 수렴합니다.

(2) 디리클레 커널과 디리클레 수렴 정리:

 푸리에 급수의 수렴에 대한 Dirichlet의 작업은 또한 조화해석학의 중요한 도구인 Dirichlet 커널의 도입으로 이어졌습니다. 디리클레 커널 D_N(x)은 다음과 같이 정의됩니다:

 디리클레 커널은 푸리에 시리즈의 맥락에서 항등함수(identity, y=1)를 근사하는 데 사용됩니다. 보다 구체적으로, 함수 f(x)의 푸리에 시리즈의 부분 합은 디리클레 커널과 f(x)의 컨벌루션으로 표현될 수 있습니다:

 디리클레의 수렴 정리는 함수 f(x)가 디리클레의 조건을 만족한다면, 디리클레 커널과 f(x)의 컨벌루션의 점별 극한은 함수 자체와 같다고 명시합니다:

요약하자면, Dirichlet의 조화해석학 작업은 푸리에 급수의 수렴을 위한 엄격한 기반을 제공하고, Dirichlet 커널과 같은 새로운 개념을 도입함으로써 푸리에의 초기 발견을 확장했습니다. 그의 공헌은 푸리에 시리즈의 이론을 공고히 하는 데 도움이 되었을 뿐만 아니라 조화해석학 분야의 미래 발전을 위한 토대를 마련했습니다.

 2. 리만(1826-1866) 

(2-1) 리만-르베그 보조정리(lemma):

 리만-르베그 보조 정리는 푸리에 계수의 수렴에 중요한 영향을 미치는 푸리의 해석의 근본적인 결과입니다. 보조정리는 함수 f(x)가 유한한 간격 [a, b]에 걸쳐 적분될 수 있다면, 주파수(n)가 무한대에 접근함에 따라 f(x)의 푸리에 계수는 0이 되는 경향이 있다고 말합니다:

 이 결과는, 연속적이고 미분가능한 함수의 푸리에 계수가 주파수가 증가함에 따라 감소하여, 함수의 부드러움과 푸리에 표현에 대한 통찰력을 제공한다는 것을 의미합니다.

(2-2) 리만 적분가능성(Riemann integrability)

 리만의 "적분"에 대한 정의는 특정 간격에 걸쳐 유한 리만 적분을 할당할 수 있는 함수와 관련이 있습니다. 리만 적분은 간격에 걸쳐 함수의 곡선 아래의 영역에 값을 할당하는 방법입니다. 리만의 적분 정의를 이해하려면, 우리는 먼저 리만 합과 리만 적분의 개념을 이해해야 합니다.

 닫힌 간격 [a, b]에 정의된 함수 f(x)를 감안할 때, 우리는 간격을 같은 길이 Δx = (b-a)/n의 n개의 하위 간격으로 분할할 수 있습니다. 각 하위 간격에 대해, 우리는 하위 간격 내에서 x_i 점을 선택하고 곱 f(x_i)Δx를 형성합니다. 리만 합계는 모든 하위 간격에 걸쳐 이 제품들의 합입니다:

 파티션의 가장 큰 하위 간격의 크기가 0에 접근함에 따라(즉, n이 무한대에 접근함에 따라) 리만 합계에 대한 고유한 한계가 존재하는 경우 함수 f(x)는 [a, b]에서 리만 적분할 수 있다고 합니다.

 이제, 이것을 푸리에 시리즈의 수렴 조건과 연관시켜 봅시다. 푸리에 시리즈의 수렴은 함수의 부드러움과 푸리에 계수의 붕괴에 달려 있습니다. 유한 간격에서 적분 함수의 푸리에 계수가 주파수가 무한대에 접근함에 따라 0이 되는 경향이 있다고 말하는 리만-르베그 보조 정리는 이 관계를 이해하는 데 중요한 역할을 합니다.

 함수가 유한한 간격에서 리만 적분할 수 있을 때, 그것은 리만-레베그 보조 정리의 조건을 충족시켜 푸리에 계수가 소멸(decay)되도록 합니다. 이 소멸은 급수가 함수를 더 가깝게 근사할 수 있기 때문에 푸리에 급수의 수렴에 필수적입니다.

 함수의 리만 적분성은 종종 푸리에 시리즈의 수렴과 관련된 부드러움(smoothness) 조건(예: 연속성 및 미분성)보다 약한 조건이라는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 그러나, 리만 적분성은 여전히 함수가 의미 있는 푸리에 표현을 갖기 위해 충족되어야 하는 필수 조건입니다.

 요약하자면, 리만의 적분 정의는 리만-레베그 보조정리를 통한 푸리에 시리즈의 수렴 조건과 관련이 있습니다. 유한 간격의 적분 함수는 주파수가 증가함에 따라 소멸하는 푸리에 계수를 가지고 있으며, 이는 푸리에 시리즈의 수렴에 필요한 조건입니다.

보다 자세한 내용은 리만 소챕터 마지막 부록을 참고

(2-3) 리만의 코시 잔류정리(Cauchy residue theorem)의 확장:

 Riemann은 복소해석학, 특히 잔류정리에 대한 Augustin-Louis Cauchy의 작업을 확장했습니다. 잔류정리는 복소평면에서 경로적분을 계산하기 위한 강력한 도구이며, 종종 조화해석학의 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 리만은 복잡한 함수의 특이점이 반드시 고립된 점이 아닌 경우를 포함하도록 정리를 일반화하여 더 복잡한 적분을 계산할 수 있도록 했습니다.

(2-4) 퍼텐셜 이론에 대한 리만의 기여:

 리만은 조화해석학과 밀접한 관련이 있는 분야인 퍼텐셜 이론에 상당한 기여를 했습니다. 그는 "디리클레 문제"의 개념을 소개하고 복소평면에서 단순히 연결된 도메인이 단위 디스크에 conformally 매핑될 수 있다는 리만 매핑 정리를 개발했습니다. 이 결과는 전위 이론과 조화해석학의 중심인 조화함수(sin, cos 함수)와 라플라스 방정식 연구에 적용됩니다.

(2-5) 리만 제타 함수와 분석 수론:

 조화해석과 직접적인 관련이 없지만, 제타 함수에 대한 리만의 연구는 정수론과 수학 전체에 지대한 영향을 미쳤습니다. 리만은 제타 함수를 복소평면으로 확장하고 유명한 리만 가설을 공식화했는데, 이는 제타 함수의 모든 사소하지 않은 0이 1/2과 같은 실제 부분을 가지고 있다고 추측합니다. 리만 가설은 소수의 분포와 깊은 관련이 있으며 수학에서 해결되지 않은 문제로 남아있습니다.

 결론적으로, 베른하르트 리만의 작품은 수학 분야에 지울 수 없는 흔적을 남겼습니다. 조화해석, 복소해석, 정수론 및 미분 기하학에 대한 그의 공헌은 이러한 영역의 발전을 형성했으며 계속해서 새로운 발견과 돌파구를 불러일으키고 있습니다.

(부록) 리만 적분가능 (Riemann Integrability)

"The Calculus Gallery - Dunham" 서적을 참고함

 

 이 부록에선 현대의 정의보다는 19세기 당시 리만의 사고과정을 따라가면서 그의 생각을 읽어보려고 합니다. 1854년 리만은 Habilitationsschrift에서 다음과 같은 질문을 던졌습니다 : "∫f(x)dx over [a,b]는 어떻게 이해해야 하는가?"

 코시 이전에 수학자들에게 적분은 단지 미분의 역연산(inverse operation)이라는 생각이 지배적이었고, 그래서 적분에 대해 엄밀하게 생각해보려는 동기도 별로 없었습니다. 그러나 코시가 적분을 합의 극한의 일종으로 정의한 이후부터 적분은 미분과 독립적인 개념이라는 아이디어가 태어나기 시작했습니다. 다만 코시는 적분가능하려면 함수가 연속이어야 한다고 가정했는데, 이는 여전히 미분과 연결지어서 적분을 생각하는 흔적이라 할 수 있습니다. 과도기적 시기인 셈.

 그러나 리만의 등장 이후 적분은 미분과는 독립적인 길을 걷게되는데, 리만은 불연속인 함수이더라도 적분이 존재할 수 있도록 적분을 재정의했기 때문입니다. 그의 아이디어의 핵심은 "구간내에서 함수의 변동(oscillation)을 충분히 억제(control)할 수 있으면 적분가능하다"인데, 이제부터 보다 formal하게 알아봅시다.

 리만은 연구 진행을 위해 함수 f : bounded over [a.b]를 가정했습니다. 리만은 우선 구간 [a,b]에 있는 수열 a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_(n-1) < x_n=b를 생각했습니다. 이 부분구간(subdivision)은 현재 partition이라는 용어가 되었습니다.

다음, 사각형의 넓이의 합을 정의합니다 :

이제, 리만의 적분 정의를 소개합니다 :

 즉, 각 구간의 길이를 좁혀나갈 때 사각형넓이의 합 S가 A라는 극한값을 가진다면, A = ∫f(x)dx over [a,b]인 것입니다.

다음으로 리만은, 적분가능성(integrability) 즉 주어진 함수가 적분을 가지기 위한 필요충분조건을 연구했습니다.

 우선 아래 그림을 참고해서 D_k를 정의합니다 :

 참고로 현대의 리만 적분가능 정의는 D_k의 sup, inf를 이용하는데(실수구간이니까 completness에 의해 sup, inf가 존재한다), 리만이 적분을 연구할 당시에는 sup와 inf라는 개념이 존재하지 않았습니다.

 아무튼, 이어서 변동(oscillation)을 포착한 D_k를 가지고 또 다른 사각형들의 넓의를 정의하는데 :

이 때 리만은 다음과 같이 결론지었습니다 :

위의 그림에서 보면, d->0일 때 사각형 영역들의 넓이->0 을 의미합니다.

 이제, 변동을 control한다는 개념을 정식화하기 위해 σ>0을 고려합시다.

 for σ>0, f(x)의 변동이 σ보다 큰 구간은 [x1, x2], [x4, x5]입니다.

이제, type A 구간의 길이함수를 정의합시다 :

이제, 핵심입니다.

즉, 변동이 control되지 않는 구간은, norm을 0으로 보낼 때 그 길이가 0으로 수렴한다는 것이 f가 적분 가능하다는 필요충분조건입니다.