푸리에 해석 (0) : 개요

 Stein의 푸리에 해석학 책을 보면서 나름대로 정리한 포스팅.

 

 수학의 한 분야인 조화해석학(harmonic analysis)은, 기본 파동의 중첩으로서 함수나 신호를 표현하는 과정에 관한 연구입니다. 그것은 수론, 편미분 방정식, 표현 이론뿐만 아니라 물리학, 공학 및 신호 처리의 응용을 포함한 많은 수학 분야와 깊은 관련이 있습니다. 이번 포스팅에선 장바티스트 조셉 푸리에의 획기적인 작업에서 시작하여, 현대 발전으로의 진화를 추적하는 조화해석학의 역사에 대한 소개를 제공하는 것을 목표로 합니다.

1. 창세기: 푸리에 급수와 푸리에 변환

 장 밥티스트 조셉 푸리에(Fourier, 1768-1830)는 조화해석학 분야에 중대한 공헌을 한 프랑스의 수학자이자 물리학자였습니다. 그의 작업은 주로 열전도(heat conduction) 연구에 의해 동기가 부여되었고, 이로 인해 그는 푸리에 급수로 알려진 수학적 방법을 개발하게 되었습니다.

 푸리에 시리즈는 조화함수(harmonics)로 알려진 사인과 코사인 함수의 합으로 주기 함수를 나타내는 수단을 제공합니다. 수학적 용어로, 주기 T를 가진 주기 함수 f(x)를 감안할 때, 푸리에 급수의 표현은 다음과 같이 주어집니다:

 푸리에의 작업은 현재 비주기적 함수를 분석하기 위한 강력한 도구인 푸리에 변환(Fourier Transform)으로 알려진 것의 토대를 마련했습니다. 함수 f(x)의 푸리에 변환과 역변환은 다음과 같이 정의됩니다:

2. 조화해석학의 추가 발전

 푸리에의 선구적인 작업 이후, 많은 수학자들이 조화해석학 분야에 상당한 기여를 했습니다. 주요 이정표는 다음과 같습니다:

 1. Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)은 푸리에 시리즈의 개념을 더 넓은 종류의 함수로 확장하고 특정 조건 하에서 푸리에 시리즈의 수렴을 확립했습니다.

 2. 베른하르트 리만(1826-1866)은 푸리에 계수의 수렴을 함수의 부드러움과 연관시키는 리만-르베그 보조 정리를 공식화했습니다.

 3. 앙리 르베그(1875-1941)는 조화해석과 측정 이론을 연구할 수 있는 보다 일반적인 틀을 가능하게 하는 르베그 통합을 개발했습니다.

 4. 노르베르트 위너(1894-1964)는 푸리에 변환을 신호의 자기상관 함수에 연결하여 현대 신호 처리의 기초를 놓는 위너-킨친 정리를 도입했습니다.

3. 근현대 조화해석학

 최근 수십 년 동안, 고조파 분석은 다양한 분야의 다양한 수학 및 응용 분야와의 연결과 함께 진화하고 확장되었습니다. 몇 가지 주목할 만한 현대적인 발전은 다음과 같습니다:

 1. 시간 주파수 분석: 가버 (1946) 및 단시간 푸리에 변환 (STFT), 웨이블릿 변환 (Mallat, 1989)와 Wigner-Ville Distribution (WVD)은 시간과 주파수 정보를 결합하여 비정지 신호를 분석하는 방법을 제공합니다.

 2. Singular 적분 연산자: 알베르토 칼데론과 안토니 지그문트가 개척한 단수 적분 연산자는 현대 고조파 분석에서 중심적인 역할을 합니다. 이 연산자들은 편미분 방정식과 립시츠 그래프에서 함수의 동작을 연구하는 데 사용됩니다.

 3. 불확정성 원리: 양자 역학에서 하이젠베르크의 작업을 바탕으로, 수학자들은 다양한 시간 주파수와 시간 척도 변환에 대한 불확정성 원리를 도출했으며, 이는 두 영역 모두에서 함수의 동시 국소화(simultaneous localization) 대한 근본적인 한계를 제공합니다.

 4. 리틀우드-페일리 이론: 존 에덴소어 리틀우드와 레이먼드 페일리의 작품에서 유래한 이 이론은, 함수를 다이아딕 주파수 대역으로 분해합니다. 그것은 편미분 방정식, 확률 및 에르고드적 이론과 같은 다양한 분야에 적용됩니다.

 5. 프레임 이론: 로널드 A. DeVore와 그의 협력자들은 직교 정규 베이스의 개념을 신호의 안정적인 표현을 제공하는 과완전한 벡터 집합인 프레임으로 확장했습니다. 프레임 이론은 신호 처리, 코딩 이론 및 기능 분석에 적용됩니다.

 6. 희소 표현 및 압축 감지: Donoho, Candès 및 Tao는 특정 베이스 또는 프레임에서 신호의 희소 표현을 활용하여 소수의 측정에서 복구하는 기술인 압축 감지를 도입했습니다. 이것은 의료 영상 및 데이터 수집과 같은 분야에서 중요한 영향을 미칩니다.